Одна из самых распространенных школьных проблем — проблема учебного материала, который не соответствует поставленным целям обучения. Яркий пример — задачи по математике в начальной школе.

Учебная цель — научить решать задачи из учебников по математике.

Результат — большой процент детей не умеют решать задачи, не воспринимают условия, правила решения, порядок действий, смысла и содержание задач. Основная тяжесть обучения ложится на учителей и родителей, которые разными способами пытаются сделать понятными эти коварные задачи.

Предлагаю применить для обучения решению математических задач в начальной школе модели на базе СО (системного оператора).

Проблемы обучения решению математических задач и предлагаемые решения

1. Проблема классификации задач начальной школы

Ныне существующие классификации задач не помогают выявлению их смысла. Т. е. классификации типа: «в одно действие, в два действия, простые, сложные, с косвенным вопросом» и др. не помогают детям решать эти задачи.

Решение. После анализа задач по учебникам математики 1-3 классов я пришел к выводу, что удобнее и понятнее для детей классификация по СО:

• задачи на части и целое — вертикаль СО;
• задачи на времена (было, стало, будет) — горизонталь СО;
• комбинированные — вертикаль и горизонталь СО в одной задаче.

2. Проблема записи условий задачи

Краткая запись условия не показывает структурные связи данных задачи. А отображение условия с помощью отрезков требует развитого абстрактного мышления и не воспринимается слабыми детьми. Отсюда трудности в определении путей решения задачи.

Решение. Условия задачи должны иметь вид структуры задачи и быть достаточно наглядны. Этого можно достичь, если использовать СО для записи условий.

• Подпроблема 1. СО должен быть минимизирован, чтобы ребенок мог сконцентрироваться на условии задачи.

Решение: рисовать только ту часть СО, которая отражена в данной задаче.

• Подпроблема 2. Создать конкретный образ минимизированного СО. Я опробовал несколько вариантов и остановился на следующих:
• Вертикаль «часть-целое» — образные рисунки «чемодан», «коробочка», «мешочек».
• Горизонталь «время» — рисунок «часы».

3. Проблема понятий и названий величин

Задачи становятся конкретней и четче, если за каждым числом стоит понятие или величина.

«Пройдено 10 км» — путь, «за 2 часа» — время, а если «на две книги больше», то что такое ДВА? И начинаются длинные рассуждения, что ДВА это когда одно больше (меньше) другого. Я называю это «объяснительными разговорами», которые не поставишь в модель условий.

Решение. Вводить сразу названия величин и понятий в структуру задач с их буквенным обозначением.
 — целое,  — разница, a,b,c — части, К — коэффициент и др.

Подпроблема. В математике не оказалось величины (понятия), обозначающей количество мелких частей в ЕДИНИЦЕ крупной части. Например, на 3-х полках — 30 книг. Сколько книг на одной полке?

Здесь книги — подсистема (части), полки — надсистема (целое), а какую величину надо найти? И опять начинаем «объяснительные разговоры». «Мы должны узнать, сколько книг на одной полке», т.е. идет повторение текста задачи, а не обозначение величины.

Решение. Я ввел понятие «МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОРЦИЯ», которое показывает количество мелких частей в единице целого, и обозначил ее буквой «П». Это позволяет в дальнейшем легко перейти на задачи со скоростью, нормой, ценой.

4. Проблема проверки правильности решения задачи

Обычно проверяют не решение задачи, а правильность математических действий в этой задаче, что далеко не одно и то же.

Решение. Проверку производить до начала математических действий, путем проговора условия по записанной модели и сличения его с текстом задачи. Алгоритм речевого построения показан ниже на конкретных примерах.

5. Проблема последовательности действий ученика при решении задач

Таких правил, памяток, описаний, алгоритмов существует много, но они не работают без решения первых четырех проблем. У меня тоже есть 5-6 шагов решения задач, но они опираются на образную модель и правила ее заполнения.

Примеры решения задач с помощью моделей СО

Задача на «части — целое». №19, с. 6, учебник 2-го класса Моро и Бантова.
В банке было 3 л молока, а в бидоне на 6 л больше. Сколько литров молока было в банке и в бидоне вместе?

Шаг 1. Определение типа задачи.
Определение типа задачи делается по ключевым словам: названиям частей и названию целого.
Здесь названия крупных частей: «БАНКА» и «БИДОН», мелкая часть «МОЛОКО», целое — «ВСЕГО», разница — «НА БОЛЬШЕ».

Шаг 2. Выбор и рисование модели для данного типа задач.
Для типа задач на «ЦЕЛОЕ И ДВЕ РАЗНЫЕ ЧАСТИ С РАЗНИЦЕЙ» — это «ЧЕМОДАН С ДВУМЯ КОРОБОЧКАМИ».

Примечание. Рисунки моделей и формулы для них висят на виду и при изучении находятся перед глазами, а потом запоминаются и рисуются по памяти в тетради, как условие задачи.

Обозначения: «РУЧКА» — целое, «ЗАМОЧКИ» — названия крупных частей, «КОРОБОЧКИ» — мелкие части, «НОЖКИ» — единицы измерения, знак «РАЗНИЦЫ» — «БОЛЬШЕ», «МЕНЬШЕ» рисуется между коробочками.




Формулы.

ЦЕЛОЕ получается сложением его частей.

РАЗНИЦА определяется вычитанием МЕНЬШЕЙ части из БОЛЬШЕЙ.

МЕНЬШАЯ часть определяется вычитанием РАЗНИЦЫ из БОЛЬШЕЙ.

БОЛЬШАЯ часть определяется сложением МЕНЬШЕЙ и РАЗНИЦЫ.

МЕНЬШАЯ часть определяется вычитанием БОЛЬШЕЙ из ЦЕЛОГО.

БОЛЬШАЯ часть определяется вычитанием МЕНЬШЕЙ из ЦЕЛОГО.

Шаг 3. Заполнение «ЧЕМОДАНА», запись названий, чисел, единиц измерения. Нахождение места для знака вопроса.



Шаг 4. Проверка правильности записи условий (заполнения чемодана).

Проверка выражается проговором записанных чисел и вопроса по чемодану и сличение этих фраз с текстом.

По «чемодану» — «Три литра в банке».
По тексту — «В банке было 3 литра молока».
Вывод —«правильно».

По «чемодану» — «На 6 л в бидоне больше, чем в банке».
По тексту — «В бидоне на 6 литров больше»
Вывод — «правильно».

По «чемодану» — «Сколько литров в банке и в бидоне вместе?».
По тексту — «Сколько литров молока было в банке и в бидоне вместе?»
Вывод — «правильно».

Шаг 5. Запись главной формулы и доведение ее до известных величин.

Из набора формул к данной модели найти формулу для данной задачи по месту нахождения вопроса. Вопрос стоит в «Ручке». Ищем формулу для «ЦЕЛОГО»:
или «ВМЕСТЕ» = «Банка» + «Бидон».

Подчеркнуть неизвестную величину. Здесь это b или «Бидон».
Найти и написать новую формулу для подчеркнутой неизвестной величины.

Здесь — это «БОЛЬШАЯ ЧАСТЬ».
или «Бидон» = «Банка» + «РАЗНИЦА».

Все величины известны, можно подставлять числа.

Шаг 6. Подставить числа и сделать вычисления в уже записанных формулах.




Шаг 7. Записать полученные числа в «ЧЕМОДАН». Проговорить и записать ответ по его месту.

«12 литров в банке и бидоне вместе».

Задача на «изменения во времени». №58, с. 13, учебник 2-го класса Моро и Бантова.
В букете было 12 астр. Несколько астр подарили. Осталось 7 астр. Сколько астр подарили.

Шаг 1. Определение типа задачи.

Определение типа задачи делается по ключевым словам — временным глаголам: «БЫЛО», «ОСТАЛОСЬ», «ПОДАРИЛИ».

Шаг 2. Выбор и рисование модели для данного типа задач.

Для типа задач на «ВРЕМЕННЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ» — это «МЕШОЧКИ» для начальных и конечных величин, «ЧАСЫ» для «УВЕЛИЧЕНИЯ» или «УМЕНЬШЕНИЯ».

Примечание. Рисунки моделей и формулы для них висят на виду и при изучении находятся перед глазами, а потом запоминаются и рисуются по памяти в тетради, как условие задачи.

Обозначения: «РУЧКИ» — названия крупной части, «ДНО МЕШОЧКА» — единицы измерения, «СРЕЛКИ В ЧАСАХ» — увеличение — стрелки вправо, уменьшение — стрелки влево.









Формулы.

«НА УВЕЛИЧЕНИЕ»
n = k — , БЫЛО меньше.
k = n + , СТАЛО больше.
= k — n , УВЕЛИЧЕЛОСЬ на разницу между началом и КОНЦОМ.

«НА УМЕНЬШЕНИЕ»
n = k + , БЫЛО больше,
k = n — , СТАЛО меньше.
= n — k , УМЕНЬШИЛОСЬ на разницу между началом и КОНЦОМ.

Шаг 3. Заполнение «МЕШОЧКОВ», «ЧАСОВ», запись названий, глаголов, чисел, единиц измерения. Нахождение места для знака вопроса.



Шаг 4. Проверка правильности записи условий (заполнения модели).

Проверка выражается проговором записанных чисел и вопроса по «часам» и «мешочкам», сличение этих фраз с текстом.

По «МЕШОЧКАМ»:
«было в букете 12 астр».
По тексту: «в букете было 12 астр».
«осталось в букете 7 астр».
По тексту: «осталось 7 астр».

По «ЧАСАМ»: «Сколько подарили?».
По тексту: «Сколько астр подарили?».

Шаг 5. Запись главной формулы и доведение ее до известных величин.

Из набора формул к данной модели найти формулу для данной задачи по месту нахождения вопроса. Вопрос стоит в «ЧАСАХ». Ищем формулу для «УМЕНЬШЕНИЯ»

= n — k = 12 —7 = 5 астр.

Шаг 6. Записать полученные числа в «ЧАСЫ». Проговорить и записать ответ по его месту.

«Подарили 5 астр».